RC・RL回路の時定数：充電・放電・過渡応答
RC回路とRL回路の時定数τを計算し、充電・放電と過渡応答を読み解き、5τ則を正しく適用します。
執筆・技術レビューElectroDesignForge Engineering Team
編集方針を見る要点： 時定数
τは、一次回路の応答の速さを表します。RC回路ではτ = R × C、RL回路ではτ = L / Rです。1τ後には最終値までの変化の63.2%が進み、5τ後に残る差は約0.67%です。通常は整定したものとして扱いますが、数学的に瞬時に完了するわけではありません。
早見表
| 回路 | 時定数 | 理想的には連続する量 | ステップ応答 | 5τ時点 |
|---|---|---|---|---|
| 直列RC | τ = R × C | コンデンサ電圧V_C | V_Cは指数関数的に上昇または下降 | 変化の99.33%が完了 |
| 直列RL | τ = L / R | インダクタ電流I_L | I_Lは指数関数的に上昇または下降 | 変化の99.33%が完了 |
SI単位を使います。Rはオーム（Ω）、Cはファラド（F）、Lはヘンリー（H）、τは秒（s）です。したがって10 kΩ × 100 nF = 1 ms、10 mH / 10 Ω = 1 msとなります。
過渡応答：最終値との差が減衰する
過渡応答は、スイッチを閉じた直後など、定常状態から次の定常状態へ移る間の変化です。コンデンサの電圧とインダクタの電流は瞬時には変化しません。
V_C(0+) = V_C(0−) I_L(0+) = I_L(0−)
これはコンデンサ電流やインダクタ電圧が一定という意味ではありません。開始時にはどちらも大きくなり得ます。量xが最終値へ向かう場合の一般式は次のとおりです。
x(t) = x_final + [x(0+) − x_final] × e^(−t/τ)
この式は充電にも放電にも使えます。τが経過するたびに、最終値との差はe分の一になります。実際のピーク値は電源の内部抵抗、ESR、巻線抵抗、電源の制限で決まります。
RC：コンデンサの充電
電源V_S、抵抗R、初期状態で放電済みのコンデンサCを考えます。
+V_S ──[ R ]───┬──
│
[ C ]
│
0 V ───────────┴──
τ = R × C
V_C(t) = V_S × (1 − e^(−t/τ))
I(t) = (V_S / R) × e^(−t/τ)
開始時のV_C = 0、理想的な電流はV_S / Rです。定常状態ではV_CがV_Sに近づき、電流はゼロに近づきます。最終的な蓄積エネルギーはE = ½ × C × V_S²です。
RCの計算例
V_S = 12 V、R = 10 kΩ、C = 100 nFの場合：
τ = 10,000 Ω × 100 × 10⁻9 F = 1 ms
V_C(1 ms) = 12 V × (1 − e⁻¹) = 7.59 V
I(0+) = 12 V / 10 kΩ = 1.2 mA
約5 ms後、コンデンサ電圧は11.92 Vになります。遅延時間の見積もりに使えますが、論理回路は実際のしきい値を越えた時点で5τより前に動作可能になる場合があります。
RC放電と放電抵抗
初期電圧がV_0のコンデンサを抵抗Rで0 Vへ放電する場合：
V_C(t) = V_0 × e^(−t/τ)
I(t) = −(V_0 / R) × e^(−t/τ)
最終電圧がゼロでない場合は一般式を使います。ゼロへ放電中に目標電圧へ達する時間は次のとおりです。
t = −τ × ln(V_target / V_0)
例：470 µFのコンデンサを24 Vから5 V未満まで10 kΩで放電します。τ = 4.7 s、t = −4.7 × ln(5/24) = 7.37 sです。抵抗の初期損失は24² / 10 kΩ = 57.6 mWなので、定格電力、パルスエネルギー、耐電圧を確認してください。
RL：電流の立ち上がり
V_Sで駆動する直列R-L回路では、インダクタが電流の立ち上がりを遅くします。インダクタの電圧はV_L = L × dI/dtです。
+V_S ──[ R ]──( L )── 0 V
τ = L / R
I_L(t) = (V_S / R) × (1 − e^(−t/τ))
V_L(t) = V_S × e^(−t/τ)
t = 0+ではインダクタにほぼ電源電圧の全量がかかり、電流はゼロです。直流の定常状態では理想インダクタは短絡とみなせ、電流はV_S/Rへ近づきます。τを求めるには、独立電源をゼロに置き換え、電源、巻線、直列負荷の抵抗も含めてインダクタから見た抵抗を使います。
RLの計算例
L = 10 mH、合計抵抗R = 10 Ω、V_S = 5 Vの場合：
τ = 10 mH / 10 Ω = 1 ms
I_final = 5 V / 10 Ω = 0.5 A
I_L(1 ms) = 0.5 A × 0.632 = 0.316 A
巻線抵抗も含めてください。省くとτを過大に見積もり、最終電流や損失を過小評価するおそれがあります。
RL電流の減衰と遮断時の過電圧
スイッチを開いても、インダクタ電流は瞬時に変化できません。コイルは流れる経路を得るための電圧を発生させます。還流経路がないと、トランジスタ、スイッチ、絶縁を損傷する可能性があります。フライバックダイオードは過電圧を抑えますが、コイル電圧を制限するため電流の減衰が遅くなります。ダイオードとツェナー/TVS、またはスナバを組み合わせると、保護、速度、EMCのバランスを取れます。
初期の蓄積エネルギーはE = ½ × L × I_0²で、抵抗、ダイオード、TVS、アークなどの経路で消費させる必要があります。
5τの目安を正確に理解する
nτ後に立ち上がりが完了した割合は1 − e^(−n)、減衰で残る割合はe^(−n)です。
| 時間 | 立ち上がり完了率 | 残る差 |
|---|---|---|
1τ | 63.2% | 36.8% |
2τ | 86.5% | 13.5% |
3τ | 95.0% | 5.0% |
4τ | 98.2% | 1.8% |
5τ | 99.3% | 0.67% |
5τは設計上の慣例であり、物理的な境界ではありません。正確なタイミングが必要な場合、RとCの許容差、バイアスや温度による容量変化、最終値に近いしきい値を考慮して余裕を増やします。逆に、デジタル回路は5τより前に動作できる場合があります。
信頼できる計算手順
- スイッチ切り替えの直前と直後の条件（
V_C(0+)またはI_L(0+)）を設定します。 - 直流の最終値を求めます。
- リアクティブ素子から見た合成抵抗を求めます。独立電源をゼロにするのは
τの計算時だけです。 - RCでは
τ = R_eq × C、RLではτ = L / R_eqを使います。 - 一般式で電圧、電流、エネルギー、初期損失電力を確認します。
よくある間違い
- 電源の内部抵抗、負荷、ESR、巻線抵抗を忘れること。
- 5τで応答が完全に終わると考えること。実際は最終値へ漸近します。
- 理想的なコンデンサの直流定常電流がゼロであることと、初期充電電流を混同すること。
- インダクタを遮断したときの電流経路を用意しないこと。
- 複数の独立したリアクティブ素子を、回路の縮約やシミュレーションなしで一次式に当てはめること。
関連する計算ツール
- RC/RLフィルタ計算ツール —
R、C、Lとカットオフ周波数、負荷、フィルタ応答の関係を調べます。 - コンデンサ充電計算ツール — RCプリチャージを設計し、電圧と電流を可視化して安全な放電を確認します。
出典
- IEC 80000-6 — 量と単位：電磁気。
- C. K. Alexander、M. N. O. Sadiku、電気回路の基礎。
- RC/RL過渡応答、リレー駆動、フライバックダイオードに関するアプリケーションノート。