Prawa Kirchhoffa: analiza węzłowa i oczkowa
Zastosuj prądowe prawo Kirchhoffa (KCL) i napięciowe prawo Kirchhoffa (KVL), wybierz spójne konwencje znaków i rozwiązuj obwody rezystancyjne krok po kroku.
Opracowanie i przegląd techniczny:ElectroDesignForge Engineering Team
Zobacz proces redakcyjnyNajważniejsze: prądowe prawo Kirchhoffa (KCL) wyraża zachowanie prądu w każdym węźle. Napięciowe prawo Kirchhoffa (KVL) mówi, że algebraiczna suma napięć wzdłuż każdego zamkniętego obwodu jest równa zeru. Wybierz konwencję znaków raz i stosuj ją konsekwentnie w całym obliczeniu.
Szybkie zestawienie
| Prawo | Równanie | Sens fizyczny | Powiązana metoda |
|---|---|---|---|
| Prądowe prawo Kirchhoffa — KCL | Σ I = 0 | Ładunek nie gromadzi się w idealnym węźle | Analiza węzłowa |
| Napięciowe prawo Kirchhoffa — KVL | Σ V = 0 | Energia przypadająca na jednostkę ładunku zachowuje się wzdłuż zamkniętego obwodu | Analiza oczkowa |
Węzeł to zbiór punktów połączonych idealnymi przewodnikami. Gałąź łączy dwa węzły i zawiera jeden lub więcej elementów. Oczko jest zamkniętą pętlą, która nie zawiera innej pętli.
Prawa te stosuje się do typowych obwodów o parametrach skupionych. Jeśli przez pętlę przechodzi znaczący, zmienny w czasie strumień magnetyczny, trzeba uwzględnić napięcie indukowane; sama prosta postać Σ V = 0 nie wystarcza.
Konwencje znaków: sposób na uniknięcie błędów
Kierunki prądów i biegunowość napięć możesz wybrać dowolnie. Są to odniesienia do obliczeń, a nie przewidywania. Ujemny wynik oznacza jedynie, że rzeczywisty kierunek jest przeciwny do wybranej strzałki.
Konwencja pasywna dla rezystorów
Dla rezystora umieść + tam, gdzie wpływa prąd odniesienia, a − tam, gdzie wypływa:
I →
(+) ──[ R ]── (−)
V_R = R × I
Przy tej konwencji V_R = R × I, a pobierana moc wynosi P = V_R × I = R × I² i jest dodatnia. Przejście przez rezystor od + do − daje w równaniu oczka spadek −R × I. Przejście w przeciwną stronę daje +R × I.
Źródła napięcia i kierunek przejścia po pętli
Dla wybranego kierunku obiegu pętli:
| Przejście przez element | Składnik w Σ V = 0 |
|---|---|
od − do + | wzrost napięcia: +V |
od + do − | spadek napięcia: −V |
| przez rezystor zgodnie z jego prądem | −R × I |
| przez rezystor przeciwnie do jego prądu | +R × I |
Nie zmieniaj konwencji w połowie obliczeń. Przed zapisaniem równań zaznacz na schemacie biegunowości i strzałki.
KCL: analiza węzłowa
Prądowe prawo Kirchhoffa można zapisać jako:
Σ I_entering = Σ I_leaving
albo przy jednej konwencji algebraicznej:
Σ I = 0
Procedura analizy węzłowej
- Wybierz węzeł odniesienia o potencjale
0 V, zwykle powrót zasilania. - Nazwij napięcia pozostałych węzłów:
V_A,V_Bi tak dalej. - Dla każdego nieznanego węzła wyraź każdy prąd z prawa Ohma:
(V_node − V_neighbour) / R. - Zastosuj KCL według tej samej konwencji w każdym węźle, a następnie rozwiąż układ równań.
- Oblicz prądy i sprawdź KCL oraz bilans mocy.
Przykład obliczeniowy 1: jeden węzeł zasilający dwa rezystory
Idealne źródło 12 V zasila węzeł A przez R_1 = 1 kΩ. Od węzła A rezystory R_2 = 2 kΩ i R_3 = 3 kΩ prowadzą do masy.
Przyjmując prądy wypływające z węzła A za dodatnie:
(V_A − 12) / 1000 + V_A / 2000 + V_A / 3000 = 0
Pomnóż równanie przez 6000:
6(V_A − 12) + 3V_A + 2V_A = 0
11V_A = 72
V_A = 6.545 V
Prądy gałęzi wynoszą:
| Gałąź | Obliczenie | Wynik |
|---|---|---|
przez R_1, od 12 V do A | (12 − V_A) / 1 kΩ | 5.455 mA |
przez R_2, od A do masy | V_A / 2 kΩ | 3.273 mA |
przez R_3, od A do masy | V_A / 3 kΩ | 2.182 mA |
Sprawdzenie: 5.455 mA = 3.273 mA + 2.182 mA. Bilans prądów w węźle jest zgodny.
KVL: analiza prądów oczkowych
Napięciowe prawo Kirchhoffa ma postać:
Σ V = 0
Analiza oczkowa jest szczególnie wygodna dla płaskich obwodów z kilkoma oczkami. Przypisz po jednym prądzie do każdego oczka, zwykle wszystkie zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Ujemny prąd oczkowy oznacza przepływ rzeczywisty w przeciwnym kierunku.
Rezystor wspólny dla dwóch oczek
Jeśli R_c należy do dwóch oczek z prądami I_1 i I_2 skierowanymi zgodnie z ruchem wskazówek zegara, prąd gałęzi widziany z oczka 1 wynosi I_1 − I_2. Spadek napięcia na nim to zatem:
V_Rc = R_c × (I_1 − I_2)
Ujemny składnik mieszany w równaniach oczkowych wynika bezpośrednio z tej różnicy prądów.
Przykład obliczeniowy 2: dwa oczka ze wspólnym rezystorem
Dwa oczka mają wspólny rezystor R_3 = 1 kΩ. Pierwsze zawiera źródło V_S = 10 V oraz R_1 = 1 kΩ, a drugie — R_2 = 2 kΩ. Oba prądy oczkowe, I_1 i I_2, płyną zgodnie z ruchem wskazówek zegara.
Dla oczka 1:
+10 − 1000I_1 − 1000(I_1 − I_2) = 0
2I_1 − I_2 = 10 mA
Dla oczka 2:
−2000I_2 − 1000(I_2 − I_1) = 0
−I_1 + 3I_2 = 0
Rozwiązanie daje:
I_2 = 2 mA
I_1 = 6 mA
Prąd przez wspólny rezystor wynosi I_1 − I_2 = 4 mA. Spadki napięcia to 6 V na R_1, 4 V na R_3 i 4 V na R_2. W pierwszym oczku +10 − 6 − 4 = 0 V; w drugim +4 − 4 = 0 V, gdy przechodzimy w górę przez R_3, a w dół przez R_2.
Węzły czy oczka: którą metodę wybrać?
| Sytuacja | Zwykle prostsza metoda |
|---|---|
| Wiele gałęzi do masy lub źródeł prądowych | Węzły |
| Mało nieznanych napięć węzłowych | Węzły |
| Obwód płaski z niewieloma oczkami i źródłami napięcia | Oczka |
| Źródło prądowe między dwoma oczkami | Superoczko |
| Źródło napięciowe między dwoma nieznanymi węzłami | Superwęzeł |
Superwęzeł obejmuje źródło napięcia między dwoma węzłami o nieznanych potencjałach: zapisz KCL dla całego superwęzła, a potem dodaj równanie napięcia źródła. Superoczko omija źródło prądowe wspólne dla dwóch oczek: zapisz KVL dla zewnętrznego obwodu i dodaj warunek narzucony przez źródło prądowe.
Kontrola spójności
Po rozwiązaniu sprawdź:
- KCL przynajmniej w jednym węźle: suma prądów powinna wynosić zero z dokładnością do zaokrągleń.
- KVL w każdej niezależnej pętli: algebraiczna suma napięć powinna wynosić zero.
- Moc: suma mocy dostarczanych i pobieranych powinna wynosić zero. Przy konwencji pasywnej rezystor pobiera moc dodatnią.
- Rząd wielkości: przepływ kilku amperów przez kilo-omy przy napięciu kilku woltów budzi podejrzenia.
Dla powyższego obwodu węzłowego źródło dostarcza około 12 V × 5.455 mA = 65.46 mW. Rezystory pobierają około 29.75 mW, 21.42 mW i 14.28 mW, co zgadza się w granicach zaokrągleń.
Częste błędy
- Uznawanie skrzyżowanych przewodów za węzeł: bez kropki połączenia przewody nie muszą być ze sobą połączone.
- Wpisywanie
V / Rzamiast(V_A − V_B) / Rmiędzy dwoma węzłami o nieznanych potencjałach. - Dowolna zmiana znaku rezystora wspólnego dla dwóch oczek.
- Zapominanie, że źródło prądowe narzuca wartość prądu, a źródło napięciowe — wartość napięcia.
- Ręczne „poprawianie” ujemnego wyniku: zachowaj go i dopiero na końcu zinterpretuj rzeczywisty kierunek.
Powiązane narzędzie
Otwórz kalkulator dzielników i sieci rezystorowych, aby łączyć rezystory szeregowo i równolegle oraz sprawdzać rezystancję zastępczą, podział napięcia i moc strat przed analizą węzłową lub oczkową albo po niej.
Źródła
- G. Kirchhoff, Über den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene, insbesondere durch eine kreisförmige, 1845.
- IEC 80000-6 — wielkości i jednostki: elektromagnetyzm.
- C. K. Alexander i M. N. O. Sadiku, Fundamentals of Electric Circuits.