Leggi di Kirchhoff: analisi nodale e delle maglie
Applica la legge di Kirchhoff delle correnti (KCL) e quella delle tensioni (KVL), scegli convenzioni di segno coerenti e risolvi passo dopo passo i circuiti resistivi.
Redazione e revisione tecnica:Team di ingegneria ElectroDesignForge
Consulta il processo editorialePunto chiave: la legge delle correnti di Kirchhoff (KCL) esprime la conservazione della corrente in ogni nodo. La legge delle tensioni di Kirchhoff (KVL) impone che la somma algebrica delle tensioni lungo ogni percorso chiuso sia zero. Scegli una convenzione dei segni e mantienila per tutto il calcolo.
Riferimento rapido
| Legge | Equazione | Principio fisico | Metodo associato |
|---|---|---|---|
| Legge delle correnti di Kirchhoff — KCL | Σ I = 0 | La carica non si accumula in un nodo ideale | Analisi nodale |
| Legge delle tensioni di Kirchhoff — KVL | Σ V = 0 | L'energia per unità di carica si conserva lungo un percorso chiuso | Analisi delle maglie |
Un nodo è un insieme di punti collegati da conduttori ideali. Un ramo collega due nodi e contiene uno o più elementi. Una maglia è un percorso chiuso che non racchiude altri percorsi chiusi.
Queste leggi si applicano ai comuni circuiti a parametri concentrati. Se una maglia è attraversata da un flusso magnetico che varia sensibilmente nel tempo, bisogna includere la tensione indotta: la semplice forma Σ V = 0 da sola non basta.
Convenzioni dei segni: la regola che evita errori
Puoi scegliere liberamente versi delle correnti e polarità delle tensioni. Sono riferimenti di calcolo, non previsioni. Un risultato negativo significa semplicemente che il verso fisico è opposto alla freccia scelta.
Convenzione passiva dei segni per le resistenze
Per una resistenza, indica + dove entra la corrente di riferimento e − dove esce:
I →
(+) ──[ R ]── (−)
V_R = R × I
Con questa convenzione, V_R = R × I e la potenza assorbita è P = V_R × I = R × I², positiva. Attraversare la resistenza da + a − contribuisce con una caduta −R × I all'equazione della maglia. Attraversarla nel verso opposto contribuisce con +R × I.
Sorgenti di tensione e percorrenza della maglia
Per il verso scelto lungo la maglia:
| Attraversamento di un elemento | Termine in Σ V = 0 |
|---|---|
da − a + | aumento di tensione: +V |
da + a − | caduta di tensione: −V |
| resistenza attraversata nel verso della corrente | −R × I |
| resistenza attraversata in verso opposto alla corrente | +R × I |
Non cambiare convenzione a metà del procedimento. Segna polarità e frecce sul circuito prima di scrivere le equazioni.
KCL: analisi nodale
La legge delle correnti di Kirchhoff si può scrivere:
Σ I_entranti = Σ I_uscenti
oppure, con un'unica convenzione algebrica:
Σ I = 0
Procedura di analisi nodale
- Scegli un nodo di riferimento a
0 V, di solito il ritorno dell'alimentazione. - Assegna nomi alle altre tensioni di nodo:
V_A,V_Be così via. - In ogni nodo incognito, esprimi ciascuna corrente con la legge di Ohm:
(V_node − V_neighbour) / R. - Applica KCL con la stessa convenzione in ogni nodo, poi risolvi il sistema.
- Ricava le correnti e verifica KCL e il bilancio delle potenze.
Circuito risolto 1: un nodo che alimenta due resistenze
Una sorgente ideale da 12 V alimenta il nodo A attraverso R_1 = 1 kΩ. Dal nodo A, R_2 = 2 kΩ e R_3 = 3 kΩ sono collegate a massa.
Considerando positive le correnti uscenti dal nodo A:
(V_A − 12) / 1000 + V_A / 2000 + V_A / 3000 = 0
Moltiplicando per 6000:
6(V_A − 12) + 3V_A + 2V_A = 0
11V_A = 72
V_A = 6.545 V
Le correnti nei rami sono:
| Ramo | Calcolo | Risultato |
|---|---|---|
in R_1, da 12 V ad A | (12 − V_A) / 1 kΩ | 5.455 mA |
in R_2, da A a massa | V_A / 2 kΩ | 3.273 mA |
in R_3, da A a massa | V_A / 3 kΩ | 2.182 mA |
Verifica: 5.455 mA = 3.273 mA + 2.182 mA. Il bilancio delle correnti al nodo è coerente.
KVL: analisi con correnti di maglia
La legge delle tensioni di Kirchhoff è:
Σ V = 0
L'analisi delle maglie è particolarmente comoda per circuiti planari con più percorsi chiusi. Assegna una corrente a ciascuna maglia, di solito tutte in senso orario. Una corrente di maglia negativa indica che la corrente effettiva scorre in senso antiorario.
Una resistenza condivisa da due maglie
Se R_c è condivisa da due maglie con correnti orarie I_1 e I_2, la corrente nel ramo vista dalla maglia 1 è I_1 − I_2. La caduta di tensione è quindi:
V_Rc = R_c × (I_1 − I_2)
Il termine incrociato negativo nelle equazioni delle maglie deriva direttamente da questa differenza di correnti.
Circuito risolto 2: due maglie con una resistenza condivisa
Due maglie condividono R_3 = 1 kΩ. La prima contiene una sorgente V_S = 10 V e R_1 = 1 kΩ; la seconda contiene R_2 = 2 kΩ. Entrambe le correnti di maglia I_1 e I_2 sono orarie.
Per la maglia 1:
+10 − 1000I_1 − 1000(I_1 − I_2) = 0
2I_1 − I_2 = 10 mA
Per la maglia 2:
−2000I_2 − 1000(I_2 − I_1) = 0
−I_1 + 3I_2 = 0
Risolvendo si ottiene:
I_2 = 2 mA
I_1 = 6 mA
La corrente nella resistenza condivisa è I_1 − I_2 = 4 mA. Le cadute di tensione sono 6 V su R_1, 4 V su R_3 e 4 V su R_2. Nella prima maglia, +10 − 6 − 4 = 0 V; nella seconda, +4 − 4 = 0 V attraversando R_3 verso l'alto e R_2 verso il basso.
Nodi o maglie: quale metodo scegliere?
| Situazione | Metodo di solito più breve |
|---|---|
| Molti rami verso massa o sorgenti di corrente | Nodi |
| Poche tensioni di nodo incognite | Nodi |
| Circuito planare con poche maglie e sorgenti di tensione | Maglie |
| Sorgente di corrente tra due maglie | Supermaglia |
| Sorgente di tensione tra due nodi incogniti | Supernodo |
Un supernodo racchiude una sorgente di tensione tra due nodi incogniti: scrivi KCL attorno all'intero insieme, poi aggiungi il vincolo sulla tensione della sorgente. Una supermaglia aggira una sorgente di corrente condivisa da due maglie: scrivi KVL lungo il contorno esterno, poi aggiungi il vincolo sulla corrente.
Verifiche di coerenza
Dopo aver risolto, verifica:
- KCL su almeno un nodo: la somma delle correnti deve essere zero, salvo arrotondamenti.
- KVL lungo ogni percorso indipendente: la somma algebrica delle tensioni deve essere zero.
- Potenza: la somma delle potenze erogate e assorbite deve essere zero. Con la convenzione passiva, una resistenza assorbe potenza positiva.
- Ordine di grandezza: diversi ampere su resistenze dell'ordine dei kilo-ohm alimentate da pochi volt sono sospetti.
Nel circuito nodale precedente, la sorgente eroga circa 12 V × 5.455 mA = 65.46 mW. Le resistenze assorbono circa 29.75 mW, 21.42 mW e 14.28 mW, in accordo entro gli arrotondamenti.
Errori comuni
- Trattare fili che si incrociano come un nodo: senza un punto di giunzione, i fili incrociati non sono necessariamente collegati.
- Scrivere
V / Rinvece di(V_A − V_B) / Rtra due nodi incogniti. - Cambiare arbitrariamente il segno di una resistenza condivisa da due maglie.
- Dimenticare che una sorgente di corrente impone un vincolo sulla corrente, mentre una sorgente di tensione impone un vincolo sulla tensione.
- Correggere a mano un risultato negativo: conservalo e interpreta il verso fisico alla fine.
Strumento correlato
Apri il calcolatore per partitori e reti resistive per combinare resistenze in serie e parallelo e verificare resistenza equivalente, ripartizione della tensione e potenza dissipata prima o dopo l'analisi nodale o delle maglie.
Fonti
- G. Kirchhoff, Über den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene, insbesondere durch eine kreisförmige, 1845.
- IEC 80000-6 — Grandezze e unità: elettromagnetismo.
- C. K. Alexander e M. N. O. Sadiku, Fundamentals of Electric Circuits.