Kirchhoffsche Gesetze: Knoten- und Maschenanalyse
Wenden Sie Kirchhoffs aktuelles Gesetz (KCL) und Spannungsgesetz (KVL) an, wählen Sie konsistente Vorzeichenkonventionen und lösen Sie Widerstandsschaltungen Schritt für Schritt.
Geschrieben und technisch geprüft vonElectroDesignForge Engineering Team
Redaktionsprozess ansehenKernaussage: Die Kirchhoffsche Knotenregel (KCL) beschreibt die Erhaltung des Stroms an jedem Knoten. Die Maschenregel (KVL) besagt, dass die vorzeichenbehaftete Summe aller Spannungen entlang einer geschlossenen Masche null ist. Legen Sie eine Vorzeichenkonvention fest und behalten Sie sie während der Berechnung bei.
Schnellreferenz
| Gesetz | Gleichung | Physische Idee | Assoziierte Methode |
|---|---|---|---|
| Kirchhoffs geltendes Recht — KCL | Σ I = 0 | Ladung sammelt sich nicht an einem idealen Knoten | Knotenanalyse |
| Kirchhoffs Spannungsgesetz — KVL | Σ V = 0 | Energie pro Ladungseinheit wird um einen geschlossenen Kreislauf gespart | Maschenanalyse |
Ein Knoten umfasst Punkte, die durch ideale Leiter verbunden sind. Ein Zweig verbindet zwei Knoten und enthält ein oder mehrere Bauteile. Eine Masche ist ein geschlossener Pfad, der keine weitere Masche enthält.
Diese Gesetze gelten für übliche Lumped Circuits. In einer Schleife, die einem signifikanten zeitlich variierenden magnetischen Fluss ausgesetzt ist, muss induzierte Spannung einbezogen werden; die einfache Σ V = 0 Form allein ist dann unzureichend.
Sign Conventions: Die Regel, die Fehler verhindert
Sie können die aktuellen Richtungen und Spannungspolaritäten frei wählen. Sie sind Berechnungsreferenzen Nicht Vorhersagen. Ein negatives Ergebnis bedeutet einfach, dass die physische Richtung dem von Ihnen gewählten Pfeil entgegengesetzt ist.
Passive Vorzeichenkonvention für Widerstände
Für einen Widerstand, Platz + wo der Referenzstrom eintritt und − wenn er ausläuft:
I →
(+) ──[ R ]── (−)
V_R = R × I
Mit dieser Konvention, V_R = R × I und absorbierte Kraft ist P = V_R × I = R × I², was positiv ist. Durchqueren des Widerstandes von + bis − trägt einen Tropfen bei −R × I zu einer Mesh-Gleichung. Durchqueren es in die andere Richtung trägt dazu bei +R × I.
Spannungsquellen und Looptraversal
Für Ihre gewählte Schleifenrichtung:
| Überqueren eines Elements | Begriff in Σ V = 0 |
|---|---|
von − bis + | Spannungsanstieg: +V |
von + bis − | Spannungsabfall: −V |
| mit seinem Strom durchflossenen Widerstand | −R × I |
| Widerstand gegen seinen Strom durchflossen | +R × I |
Ändern Sie die Konventionen nicht auf halbem Weg. Markieren Sie Polaritäten und Pfeile auf der Schaltung, bevor Sie Gleichungen schreiben.
KCL: Knotenanalyse
Kirchhoffs aktuelles Gesetz kann geschrieben werden als:
Σ I_entering = Σ I_leaving
oder mit einer algebraischen Konvention:
Σ I = 0
Nodalanalyseverfahren
- Wählen Sie einen Referenzknoten bei
0 VIn der Regel die Versorgungsrückgabe. - Nennen Sie die anderen Knotenspannungen:
V_A,V_Bund so weiter. - An jedem unbekannten Knoten drücken Sie jeden Strom mit dem Ohmschen Gesetz aus:
(V_node − V_neighbour) / R. - Wenden Sie KCL mit der gleichen Konvention an jedem Knoten an und lösen Sie dann das System.
- Ströme ableiten und KCL und Leistungsbilanz überprüfen.
Gelöste Schaltung 1: ein Knoten, der zwei Widerstände speist
Ein Ideal 12 V Source Feeds Node A durch R_1 = 1 kΩ. Vom A, R_2 = 2 kΩ und R_3 = 3 kΩ auf den Boden gehen.
Stromaufnahme Ausscheiden Knoten A positiv:
(V_A − 12) / 1000 + V_A / 2000 + V_A / 3000 = 0
Multiplizieren Sie mit 6000:
6(V_A − 12) + 3V_A + 2V_A = 0
11V_A = 72
V_A = 6.545 V
Die Zweigströme sind:
| Zweigstelle | Berechnung | Ergebnis |
|---|---|---|
in R_1von 12 V nach A | (12 − V_A) / 1 kΩ | 5.455 mA |
in R_2von A bis Boden | V_A / 2 kΩ | 3.273 mA |
in R_3von A bis Boden | V_A / 3 kΩ | 2.182 mA |
Kontrolle: 5.455 mA = 3.273 mA + 2.182 mADer aktuelle Saldo am Knoten ist konsistent.
KVL: Mesh-Strom-Analyse
Kirchhoffs Spannungsgesetz lautet:
Σ V = 0
Die Mesh-Analyse eignet sich besonders für planare Schaltungen mit mehreren Schleifen. Weisen Sie jedem Mesh einen Mesh-Strom zu, typischerweise im Uhrzeigersinn. Ein negativer Mesh-Strom bedeutet, dass der tatsächliche Strom im Gegenuhrzeigersinn fließt.
Ein Widerstand, der von zwei Maschen geteilt wird
Wenn R_c wird durch Maschen mit Strömen im Uhrzeigersinn geteilt I_1 und I_2der von mesh 1 gesehene Zweigstrom ist I_1 − I_2Sein Spannungsabfall beträgt daher:
V_Rc = R_c × (I_1 − I_2)
Der negative Querschnitt in den Mesh-Gleichungen kommt direkt von dieser Stromdifferenz.
Gelöste Schaltung 2: zwei Maschen, die sich einen Widerstand teilen
Zweimaschenanteil R_3 = 1 kΩDie erste Masche enthält eine V_S = 10 V Herkunft und R_1 = 1 kΩDie zweite Masche enthält R_2 = 2 kΩBeide Maschenströme I_1 und I_2 im Uhrzeigersinn.
Für Maschen 1:
+10 − 1000I_1 − 1000(I_1 − I_2) = 0
2I_1 − I_2 = 10 mA
Für Maschen 2:
−2000I_2 − 1000(I_2 − I_1) = 0
−I_1 + 3I_2 = 0
Lösen ergibt:
I_2 = 2 mA
I_1 = 6 mA
Der Strom im gemeinsamen Widerstand ist I_1 − I_2 = 4 mASpannungsabfälle sind 6 V in R_1, 4 V in R_3, und 4 V in R_2In der ersten Schleife, +10 − 6 − 4 = 0 V; im zweiten, +4 − 4 = 0 V beim Aufwärtsfahren R_3 und nach unten durch R_2.
Nodes oder Meshes: Welche Methode sollten Sie wählen?
| Lage | In der Regel kürzeste Methode |
|---|---|
| Viele Zweige zu Erd- oder Stromquellen | Knotenpunkte |
| Wenige unbekannte Knotenspannungen | Knotenpunkte |
| Planare Schaltung mit wenigen Maschen und Spannungsquellen | Maschen |
| Stromquelle zwischen zwei Maschen | Übermaschen |
| Spannungsquelle zwischen zwei unbekannten Knoten | Supernode |
Ein Superknoten umfasst eine Spannungsquelle zwischen zwei unbekannten Knoten. Formulieren Sie die Knotenregel für den gesamten Superknoten und ergänzen Sie die Spannungsbedingung der Quelle. Eine Supermasche umgeht eine Stromquelle zwischen zwei Maschen. Formulieren Sie die Maschenregel entlang der äußeren Kontur und ergänzen Sie die Strombedingung.
Konsistenzprüfungen
Nach dem Lösen überprüfen Sie:
- KCL an mindestens einem Knoten: Die aktuelle Summe sollte bis auf die Rundung Null sein.
- KVL um jede unabhängige Schleife: Die algebraische Spannungssumme sollte Null sein.
- Leistung: Die Summe der zugeführten und absorbierten Kräfte sollte Null sein. Bei der passiven Konvention absorbiert ein Widerstand positive Leistung.
- Größenordnung: mehrere Ampere durch Kilo-Ohms von wenigen Volt ist verdächtig.
Für den obigen Knotenkreis liefert die Quelle 12 V × 5.455 mA = 65.46 mWDie Widerstände absorbieren etwa 29.75 mW, 21.42 mW, und 14.28 mW, die innerhalb der Rundung zusammenpasst.
Häufige Fehler
- Behandlung von sich kreuzenden Drähten als Knoten: Ohne einen Knotenpunkt sind gekreuzte Drähte nicht unbedingt verbunden.
- Schreiben
V / Rstatt(V_A − V_B) / Rzwischen zwei unbekannten Knoten. - Willkürliches Ändern des Vorzeichens eines Widerstands, der von zwei Maschen geteilt wird.
- Vergessen, dass eine Stromquelle eine Strombegrenzung einstellt, während eine Spannungsquelle eine Spannungsbegrenzung einstellt.
- Manuelles Korrigieren eines negativen Ergebnisses: Behalten Sie es und interpretieren Sie die physische Richtung am Ende.
Verbundenes Instrument
Open Resistor-Teiler und Netzwerke Serien- und Parallelwiderstände zu kombinieren, Äquivalentwiderstand, Spannungsteilung und Verlustleistung vor oder nach einer Knoten- oder Mesh-Analyse zu überprüfen.
Quellen
- G. Kirchhoff, Über den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene, insbesondere durch eine kreisförmige, 1845.
- IEC 80000-6 — Mengen und Einheiten: Elektromagnetismus.
- C. K. Alexander und M. N. O. Sadiku, *Grundlagen der elektrischen Schaltungen *.