FondamentauxPuissance et énergie

Lois de Kirchhoff : méthode des nœuds et des mailles

Appliquez la loi des nœuds (KCL) et la loi des mailles (KVL), choisissez des conventions de signe cohérentes et résolvez des circuits résistifs pas à pas.

Niveau: Intermédiaire
Temps de lecture: 16 min
Norme ou source principale: G. Kirchhoff — lois des courants et des tensions (1845), avec les conventions de l’IEC 80000-6
Dernière vérification: 13 septembre 2026
Outil associé: Diviseur et réseaux de résistances

Rédaction et revue techniqueElectroDesignForge Engineering Team

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À retenir : la loi des nœuds (KCL) impose que le courant se conserve à chaque jonction. La loi des mailles (KVL) impose que la somme algébrique des tensions soit nulle sur toute boucle fermée. Une convention de signe choisie une fois et conservée jusqu’au bout rend les deux méthodes fiables.

Référence rapide

Loi	Équation	Idée physique	Méthode associée
Loi des nœuds — KCL	`Σ I = 0`	La charge ne s’accumule pas dans un nœud idéal	Analyse nodale
Loi des mailles — KVL	`Σ V = 0`	L’énergie par unité de charge est conservée sur une boucle	Analyse par mailles

Un nœud est un ensemble de points reliés par un conducteur idéal. Une branche relie deux nœuds et contient un ou plusieurs composants. Une maille est une boucle fermée qui ne contient pas d’autre boucle à son intérieur.

Ces lois s’appliquent aux circuits concentrés usuels. Pour un circuit soumis à un flux magnétique variable important, la tension induite doit être prise en compte : la forme simple Σ V = 0 n’est alors plus suffisante.

Conventions de signe : la règle qui évite les erreurs

Vous pouvez choisir les sens de courant et les polarités librement. Ils ne sont pas des prédictions : ce sont des références de calcul. Un résultat négatif indique seulement que le sens physique est opposé à la flèche choisie.

Convention passive pour les résistances

Pour une résistance, placez + du côté où entre le courant de référence et − du côté où il sort :

        I →
   (+) ──[ R ]── (−)
        V_R = R × I

Avec cette convention, V_R = R × I et la puissance absorbée est P = V_R × I = R × I², donc positive. Si vous parcourez la résistance de + vers −, vous comptez une chute −R × I dans une équation de maille. Dans l’autre sens, vous comptez +R × I.

Source de tension et parcours d’une maille

Lors d’un parcours dans le sens choisi :

Passage à travers un élément	Terme dans `Σ V = 0`
de `−` vers `+`	élévation de tension : `+V`
de `+` vers `−`	chute de tension : `−V`
résistance parcourue dans le sens de son courant	`−R × I`
résistance parcourue à l’opposé de son courant	`+R × I`

Ne changez pas la convention en cours de route. Écrivez les polarités et les flèches sur le schéma avant de poser les équations.

KCL : loi des nœuds et méthode nodale

La loi des courants de Kirchhoff s’écrit :

Σ I_entrant = Σ I_sortant

ou, avec une seule convention algébrique :

Σ I = 0

Procédure de la méthode des nœuds

Choisissez un nœud de référence à 0 V ; il est souvent relié au retour de l’alimentation.
Nommez les autres tensions de nœud : V_A, V_B, etc.
À chaque nœud inconnu, exprimez chaque courant avec la loi d’Ohm : (V_nœud − V_voisin) / R.
Posez KCL avec la même convention à chaque nœud, puis résolvez le système.
Déduisez les courants et vérifiez KCL ainsi que les puissances.

Circuit résolu 1 : un nœud alimentant deux résistances

Une source idéale de 12 V alimente le nœud A à travers R_1 = 1 kΩ. Depuis A, R_2 = 2 kΩ et R_3 = 3 kΩ rejoignent la masse.

En prenant les courants sortant de A positifs :

(V_A − 12) / 1000 + V_A / 2000 + V_A / 3000 = 0

En multipliant par 6000 :

6(V_A − 12) + 3V_A + 2V_A = 0
11V_A = 72
V_A = 6,545 V

Les courants valent alors :

Branche	Calcul	Résultat
dans `R_1`, de 12 V vers A	`(12 − V_A) / 1 kΩ`	`5,455 mA`
dans `R_2`, de A vers masse	`V_A / 2 kΩ`	`3,273 mA`
dans `R_3`, de A vers masse	`V_A / 3 kΩ`	`2,182 mA`

Vérification : 5,455 mA = 3,273 mA + 2,182 mA. Le bilan de courant au nœud est cohérent.

KVL : loi des mailles et méthode des courants de maille

La loi des tensions de Kirchhoff s’écrit :

Σ V = 0

La méthode des mailles est particulièrement pratique pour les circuits plans comportant plusieurs boucles. Attribuez un courant de maille à chaque maille, généralement tous dans le sens horaire. Là encore, un courant de maille négatif indique que le courant réel tourne dans le sens inverse.

Résistance commune à deux mailles

Si R_c est partagée entre deux mailles de courants I_1 et I_2, toutes deux choisis horaires, le courant dans la branche commune vu par la maille 1 est I_1 − I_2. Sa chute est donc :

V_Rc = R_c × (I_1 − I_2)

Le signe croisé négatif dans les équations de mailles vient directement de cette différence de courants.

Circuit résolu 2 : deux mailles couplées par une résistance

Deux mailles partagent R_3 = 1 kΩ. La première comprend une source V_S = 10 V et R_1 = 1 kΩ. La seconde comprend R_2 = 2 kΩ. Les deux courants de maille I_1 et I_2 sont horaires.

Pour la maille 1 :

+10 − 1000I_1 − 1000(I_1 − I_2) = 0
2I_1 − I_2 = 10 mA

Pour la maille 2 :

−2000I_2 − 1000(I_2 − I_1) = 0
−I_1 + 3I_2 = 0

La résolution donne :

I_2 = 2 mA
I_1 = 6 mA

Le courant dans la résistance commune vaut I_1 − I_2 = 4 mA. Les chutes de tension sont 6 V dans R_1, 4 V dans R_3 et 4 V dans R_2. Dans la première boucle, +10 − 6 − 4 = 0 V ; dans la seconde, +4 − 4 = 0 V si elle est parcourue en remontant R_3 puis en descendant R_2.

Nœuds ou mailles : quelle méthode choisir ?

Situation	Méthode généralement la plus courte
Beaucoup de branches vers la masse ou sources de courant	Nœuds
Peu de nœuds inconnus	Nœuds
Circuit plan avec peu de mailles et sources de tension	Mailles
Sources de courant entre deux mailles	Supermaille
Source de tension entre deux nœuds inconnus	Supernœud

Un supernœud entoure une source de tension placée entre deux nœuds inconnus : écrivez KCL autour de l’ensemble, puis ajoutez la contrainte de tension de la source. Une supermaille contourne une source de courant commune à deux mailles : écrivez KVL sur le contour externe, puis ajoutez la contrainte de courant.

Contrôles de cohérence

Après avoir résolu le système, vérifiez :

KCL sur au moins un nœud : la somme des courants doit être nulle à l’arrondi près.
KVL sur chaque boucle indépendante : la somme algébrique des tensions doit être nulle.
Puissance : la somme des puissances fournies et absorbées doit être nulle. Avec la convention passive, une résistance absorbe une puissance positive.
Ordre de grandeur : un courant de quelques ampères dans des kilo-ohms avec une source de quelques volts est suspect.

Pour le circuit nodal précédent, la source fournit environ 12 V × 5,455 mA = 65,46 mW. Les résistances absorbent environ 29,75 mW, 21,42 mW et 14,28 mW, soit la même puissance à l’arrondi près.

Erreurs fréquentes

Confondre un croisement de fils et un nœud : sans point de jonction, des fils croisés ne sont pas forcément reliés.
Écrire V / R au lieu de (V_A − V_B) / R entre deux nœuds inconnus.
Changer arbitrairement le signe d’une résistance partagée entre deux mailles.
Oublier qu’une source de courant impose une contrainte de courant, tandis qu’une source de tension impose une contrainte de tension.
Corriger « à la main » un résultat négatif : gardez-le et interprétez son sens physique à la fin.

Outil associé

Ouvrir Diviseur et réseaux de résistances pour combiner des résistances série/parallèle, vérifier une résistance équivalente, le partage de tension et la puissance dissipée avant ou après votre analyse par nœuds ou mailles.

Sources

G. Kirchhoff, Über den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene, insbesondere durch eine kreisförmige, 1845.
IEC 80000-6 — Grandeurs et unités : électromagnétisme.
C. K. Alexander et M. N. O. Sadiku, Fundamentals of Electric Circuits.