Comprender la reactancia y la resonancia LC/RLC
Comprenda las reactancias, la resonancia LC, la impedancia RLC, el factor de calidad y el ancho de banda con fórmulas y ejemplos resueltos.
La calculadora de reactancia / resonancia permite estudiar un componente a una frecuencia concreta, obtener la resonancia LC ideal o analizar un circuito RLC serie. Esta guía explica las ecuaciones y su interpretación antes de seleccionar componentes reales. Las fórmulas utilizan hercios, henrios, faradios y ohmios; convierta los prefijos antes de sustituir valores.
1. Introducción a la reactancia eléctrica
La reactancia describe la oposición asociada al almacenamiento reversible de energía en corriente alterna. Un inductor almacena energía magnética y un condensador energía eléctrica. Durante cada período sinusoidal, un elemento reactivo ideal devuelve la energía recibida. Esto desplaza la tensión respecto de la corriente sin disipar potencia media en el elemento ideal.
La reactancia depende de la frecuencia. Un condensador que limita una corriente de baja frecuencia puede dejar pasar con facilidad una señal de frecuencia superior. Un inductor suele mostrar la tendencia contraria por debajo de su autorresonancia. Por tanto, conocer únicamente el valor nominal no describe su comportamiento: también se necesitan la frecuencia y la conexión del circuito.
2. Resistencia, reactancia e impedancia
La resistencia R es la parte real de la impedancia y representa disipación en este modelo pasivo. La reactancia X es la parte imaginaria. Con la convención fasorial exp(jωt), Z = R + jX, donde j² = −1 y ω = 2πf. Ambas magnitudes se expresan en ohmios, aunque describen efectos físicos distintos.
El módulo es |Z| = √(R² + X²), no R + |X|. El ángulo es φ = atan2(X, R). Un ángulo positivo indica que la tensión adelanta a la corriente; uno negativo indica que la corriente adelanta a la tensión. Si el osciloscopio mide la fase de corriente respecto de tensión, debe tenerse en cuenta esa elección de referencia.
3. Reactancia inductiva
La relación temporal v = L di/dt produce ZL = jωL en régimen sinusoidal permanente. Así, XL = 2πfL. Duplicar la frecuencia o la inductancia duplica XL. En el inductor ideal la tensión adelanta a la corriente 90°.
Esto no convierte al inductor en una resistencia dependiente de la frecuencia: su pérdida media ideal sigue siendo cero. La resistencia del devanado, las pérdidas del núcleo y el efecto pelicular introducen disipación real, excluida de XL. Para estimar pérdidas, consulte las curvas de impedancia o de Q a la frecuencia y corriente de trabajo previstas.
4. Reactancia capacitiva
A partir de i = C dv/dt, se obtiene ZC = 1/(jωC) = −j/(ωC). La reactancia capacitiva con signo es negativa; su módulo habitual es |Xc| = 1/(2πfC). Aumentar la frecuencia o la capacitancia reduce ese módulo. La corriente ideal adelanta a la tensión 90°.
El signo negativo es una convención de impedancia compleja, no una capacitancia negativa ni una disipación negativa. En un gráfico de módulos, XL y |Xc| son positivos. En continua estable, el condensador ideal se comporta como circuito abierto; la expresión no debe evaluarse dividiendo por f = 0. Por ello, la calculadora requiere f y C estrictamente positivos.
5. Comprender la resonancia LC
El circuito LC intercambia energía entre WL = Li²/2 y WC = Cv²/2. La frecuencia angular natural es ω₀ = 1/√(LC) y la frecuencia de resonancia f₀ = 1/(2π√(LC)). En f₀, ambos módulos de reactancia son iguales a √(L/C).
En serie se cancelan las impedancias imaginarias. En un LC paralelo ideal se cancelan las susceptancias y la impedancia tiende a infinito en resonancia. Una misma frecuencia LC no significa una misma respuesta entre terminales. El modo RLC de esta calculadora supone siempre una conexión serie.
6. RLC serie: impedancia, fase y resonancia
Las impedancias complejas en serie se suman: Z = R + j(ωL − 1/(ωC)). Definiendo X = XL − |Xc|, el circuito es capacitivo por debajo de f₀ e inductivo por encima. En f₀, X se anula, |Z| alcanza su mínimo R y la fase es cero si R es positiva.
Con una tensión sinusoidal de fuente fija, |I| = |V|/|Z|: el mínimo de impedancia corresponde al máximo de corriente. Si R = 0 exactamente en f₀, Z = 0 y su ángulo queda indefinido. Un circuito sin pérdidas excitado en resonancia no tiene una respuesta sinusoidal forzada acotada. Es un límite matemático y no una predicción de corrientes finitas en componentes reales.
7. Factor de calidad y ancho de banda exacto
Para una resistencia serie positiva, Q = ω₀L/R = √(L/C)/R y BW = f₀/Q = R/(2πL). Q es adimensional y BW se expresa en hercios. Un Q mayor estrecha la respuesta de corriente y puede producir tensiones elevadas en L y C. R debe representar la resistencia serie total pertinente del modelo.
Cuando la potencia disipada en R es la mitad de su máximo, la corriente es su valor resonante dividido por √2. Entonces |Z| = √2 R y |X| = R. La amplitud de corriente disminuye 3,0103 dB, habitualmente denominados −3 dB. El módulo de impedancia aumenta esa misma cantidad en decibelios.
Las soluciones exactas son α = R/(2L), ω₁ = √(ω₀² + α²) − α, ω₂ = √(ω₀² + α²) + α, y f₁,₂ = ω₁,₂/(2π). Se cumplen f₂ − f₁ = BW y √(f₁f₂) = f₀. El punto medio aritmético generalmente supera f₀; f₀ ± BW/2 solo es una aproximación de Q alto. Para evitar restar números casi iguales, la calculadora racionaliza la raíz inferior.
Cuando R tiende a cero, Q tiende a infinito y BW a cero. En R = 0 no existe potencia resistiva que defina dos puntos de media potencia, de modo que esas frecuencias permanecen indefinidas.
8. Aplicaciones prácticas
La reactancia ayuda a elegir condensadores de acoplamiento, evaluar la carga de una entrada e investigar oscilaciones transitorias. Para un condensador de acoplamiento, compare |Xc| con la impedancia completa de fuente y carga. Para un inductor de bloqueo, compruebe que XL sea suficiente en toda la banda y revise los límites de corriente y saturación.
Use Filtro RC / RL para corte de primer orden y carga, Carga de condensadores para transitorios y Condensadores serie / paralelo para obtener la capacitancia equivalente antes de aplicar las fórmulas LC. Tiempo de carga y reactancia responden a cuestiones diferentes incluso cuando utilizan el mismo condensador.
9. Tres ejemplos resueltos
Condensador de 100 nF a 1 kHz
Datos: C = 100 nF = 100 × 10⁻⁹ F; f = 1 kHz = 1000 Hz. Fórmula: |Xc| = 1/(2πfC). Sustituyendo: 1/(2π × 1000 × 100 × 10⁻⁹) = 1591,5494 Ω, aproximadamente 1,59155 kΩ. La reactancia con signo es −1,59155 kΩ. Con 1 V eficaz circularían aproximadamente 0,628 mA eficaces en el modelo ideal.
Inductor de 10 mH a 1 kHz
Datos: L = 10 mH = 0,010 H; f = 1000 Hz. Fórmula: XL = 2πfL. Sustituyendo: 2π × 1000 × 0,010 = 62,83185 Ω, aproximadamente 62,83 Ω, con signo positivo. Estos dos ejemplos emplean valores distintos del par LC del siguiente cálculo.
Circuito LC de 10 µH y 100 nF
Datos: L = 10 × 10⁻⁶ H; C = 100 × 10⁻⁹ F, por lo que LC = 10⁻¹² s². La fórmula f₀ = 1/(2π√LC) produce 1/(2π × 10⁻⁶) = 159154,943 Hz, aproximadamente 159,155 kHz. Además, ω₀ = 1 000 000 rad/s, T₀ = 6,28319 µs y XL = |Xc| = 10 Ω.
Al añadir R = 1 Ω en serie, Q = 10, BW ≈ 15,9155 kHz y |Z(f₀)| = 1 Ω. Las frecuencias exactas de media potencia son aproximadamente 151,396 y 167,312 kHz. Su diferencia es BW y su media geométrica es f₀.
10. Límites de los modelos ideales
Las tolerancias desplazan la resonancia. Para variaciones pequeñas, Δf₀/f₀ ≈ −½(ΔL/L + ΔC/C). Las tolerancias aleatorias independientes requieren tratamiento estadístico, diferente de sumar signos de peor caso. La polarización y la temperatura pueden modificar C; la saturación hace que L dependa de la corriente.
ESR, resistencia del devanado, pérdidas magnéticas e impedancias de fuente y carga modifican el amortiguamiento. La inductancia parásita del condensador y la capacitancia del devanado causan autorresonancias. Por encima, un condensador nominal puede parecer inductivo. Las pistas pueden requerir un modelo distribuido de línea de transmisión. Verifique con datos del fabricante, simulación y medición.
11. Preguntas técnicas frecuentes
¿La resonancia siempre significa impedancia cero?
Solo un LC serie ideal sin pérdidas presenta impedancia cero en f₀. Un RLC serie conserva R y una topología paralela responde de otra forma. La cancelación de reactancias no elimina energía almacenada ni tensiones internas.
¿f₀ es la frecuencia de oscilación amortiguada?
No generalmente. En respuesta libre subamortiguada, ωd = √(ω₀² − α²); si α ≥ ω₀, la respuesta libre no oscila. El máximo de corriente forzada sigue en ω₀ en este modelo serie ideal con R constante.
¿Por qué la frecuencia usa un eje logarítmico?
Distancias iguales representan relaciones iguales de frecuencia y permiten mostrar varias décadas. El eje vertical permanece lineal en ohmios. Use puntero, toque o deslizador mediante teclado para leer valores. Los resultados numéricos son preferibles para precisar fenómenos muy estrechos.
12. Fuentes y referencias
- OpenStax, University Physics Volume 2, sección 15.3: análisis fasorial de RLC serie.
- MIT 6.101, primavera de 2020, clase 1, diapositiva 61: Q y ancho de banda.
- Analog Devices, StudentZone, desacoplamiento, parte 3: ESR, ESL y autorresonancia.
Vuelva a la calculadora para explorar sus propios valores.