Leyes de Kirchhoff: análisis nodal y de malla
Aplicar la ley actual de Kirchhoff (KCL) y ley de voltaje (KVL), elija convenciones de signos consistentes y resuelva circuitos resistivos paso a paso.
Escrito y revisado técnicamente porEquipo de ingeniería de ElectroDesignForge
Ver el proceso editorialPunto clave: la ley de corriente de Kirchhoff (KCL) conserva la corriente en cada cruce. La ley de voltaje de Kirchhoff (KVL) hace que la suma algebraica de voltajes alrededor de cada circuito cerrado sea cero. Elija una convención de signos una vez y manténgala durante todo el cálculo.
Referencia rápida
| Ley | Ecuación | idea fisica | Método asociado |
|---|---|---|---|
| La ley actual de Kirchhoff – KCL | Σ I = 0 | La carga no se acumula en un nodo ideal | Análisis nodal |
| Ley de voltaje de Kirchhoff - KVL | Σ V = 0 | La energía por unidad de carga se conserva en un circuito cerrado. | Análisis de malla |
Un nodo es un conjunto de puntos unidos por conductores ideales. Una rama une dos nodos y contiene uno o más elementos. Una malla es un bucle cerrado que no contiene ningún otro bucle.
Estas leyes se aplican a los circuitos agrupados habituales. En un circuito expuesto a un flujo magnético significativo que varía en el tiempo, se debe incluir el voltaje inducido; La forma simple Σ V = 0 por sí sola no es suficiente.
Convenciones de signos: la regla que previene errores
Puede elegir libremente las direcciones de corriente y las polaridades de voltaje. Son referencias de cálculo, no predicciones. Un resultado negativo simplemente significa que la dirección física es opuesta a la flecha que usted eligió.
Convención de signos pasivos para resistencias
Para una resistencia, coloque + por donde entra la corriente de referencia y − por donde sale:
I →
(+) ──[ R ]── (−)
V_R = R × I
Con esta convención, V_R = R × I y la potencia absorbida es P = V_R × I = R × I², que es positiva. Atravesar la resistencia de + a − aporta una caída de −R × I a una ecuación de malla. Atravesarlo en la otra dirección contribuye con +R × I.
Fuentes de voltaje y recorrido de bucle
Para la dirección del bucle elegida:
| Cruzando un elemento | Term in Σ V = 0 |
|---|---|
de − a + | aumento de voltaje: +V |
de + a − | caída de voltaje: −V |
| resistencia atravesada por su corriente | −R × I |
| resistencia atravesada contra su corriente | +R × I |
No cambie las convenciones a mitad de camino. Marque las polaridades y las flechas en el circuito antes de escribir las ecuaciones.
KCL: análisis nodal
La ley actual de Kirchhoff se puede escribir como:
Σ I_entering = Σ I_leaving
o con una convención algebraica:
Σ I = 0
Procedimiento de análisis nodal
- Elija un nodo de referencia en
0 V, generalmente el retorno de suministro. - Nombra los otros voltajes de nodo:
V_A,V_B, etc. - En cada nodo desconocido, expresa cada corriente con la ley de Ohm:
(V_node − V_neighbour) / R. - Aplique KCL usando la misma convención en cada nodo y luego resuelva el sistema.
- Derive corrientes y verifique KCL y equilibrio de potencia.
Circuito resuelto 1: un nodo alimenta dos resistencias
Una fuente ideal 12 V alimenta el nodo A a través de R_1 = 1 kΩ. De A, R_2 = 2 kΩ y R_3 = 3 kΩ van a tierra.
Tomando las corrientes saliendo del nodo A como positivas:
(V_A − 12) / 1000 + V_A / 2000 + V_A / 3000 = 0
Multiplicar por 6000:
6(V_A − 12) + 3V_A + 2V_A = 0
11V_A = 72
V_A = 6.545 V
Las corrientes de rama son:
| Rama | Cálculo | Resultado |
|---|---|---|
en R_1, de 12 V a A | (12 − V_A) / 1 kΩ | 5.455 mA |
en R_2, de A a tierra | V_A / 2 kΩ | 3.273 mA |
en R_3, de A a tierra | V_A / 3 kΩ | 2.182 mA |
Verificar: 5.455 mA = 3.273 mA + 2.182 mA. El saldo actual en el nodo es consistente.
KVL: análisis de corriente de malla
La ley de voltaje de Kirchhoff es:
Σ V = 0
El análisis de malla es especialmente conveniente para circuitos planos con varios bucles. Asigne una corriente de malla a cada malla, generalmente en el sentido de las agujas del reloj. Una corriente de malla negativa significa que la corriente real fluye en sentido antihorario.
Una resistencia compartida por dos mallas.
Si R_c es compartido por mallas con corrientes en sentido horario I_1 y I_2, la corriente de rama vista por la malla 1 es I_1 − I_2. Por tanto, su caída de tensión es:
V_Rc = R_c × (I_1 − I_2)
El término cruzado negativo en las ecuaciones de malla proviene directamente de esa diferencia actual.
Circuito resuelto 2: dos mallas que comparten una resistencia
Dos mallas comparten R_3 = 1 kΩ. La primera malla contiene una fuente V_S = 10 V y R_1 = 1 kΩ. La segunda malla contiene R_2 = 2 kΩ. Ambas corrientes de malla, I_1 y I_2, son en el sentido de las agujas del reloj.
Para malla 1:
+10 − 1000I_1 − 1000(I_1 − I_2) = 0
2I_1 − I_2 = 10 mA
Para malla 2:
−2000I_2 − 1000(I_2 − I_1) = 0
−I_1 + 3I_2 = 0
Resolver da:
I_2 = 2 mA
I_1 = 6 mA
La corriente en la resistencia compartida es I_1 − I_2 = 4 mA. Las caídas de voltaje son 6 V en R_1, 4 V en R_3 y 4 V en R_2. En el primer bucle, +10 − 6 − 4 = 0 V; en el segundo, +4 − 4 = 0 V cuando se recorre hacia arriba a través de R_3 y hacia abajo a través de R_2.
Nodos o mallas: ¿qué método elegir?
| Situación | Generalmente el método más corto |
|---|---|
| Muchas derivaciones a tierra o fuentes de corriente. | Nodos |
| Pocos voltajes de nodo desconocidos | Nodos |
| Circuito plano con pocas mallas y fuentes de voltaje. | Mallas |
| Fuente actual entre dos mallas. | supermalla |
| Fuente de voltaje entre dos nodos desconocidos | supernodo |
Un supernodo rodea una fuente de voltaje entre dos nodos desconocidos: escriba KCL alrededor de todo el recinto y luego agregue la restricción de voltaje de fuente. Una supermalla rodea una fuente actual compartida por dos mallas: escribe KVL alrededor del contorno exterior y luego agrega la restricción actual.
Comprobaciones de coherencia
Después de resolver, verifique:
- KCL en al menos un nodo: la suma actual debe ser cero aparte del redondeo.
- KVL alrededor de cada bucle independiente: la suma algebraica de voltaje debe ser cero.
- Potencia: la suma de las potencias suministrada y absorbida debe ser cero. Con la convención pasiva, una resistencia absorbe potencia positiva.
- Orden de magnitud: desde varios amperios hasta kiloohmios desde unos pocos voltios es sospechoso.
Para el circuito nodal anterior, la fuente suministra aproximadamente 12 V × 5.455 mA = 65.46 mW. Las resistencias absorben aproximadamente 29.75 mW, 21.42 mW y 14.28 mW, lo que coincide dentro del redondeo.
Errores comunes
- Tratar los cables cruzados como un nodo: sin un punto de unión, los cables cruzados no están necesariamente conectados.
- Escribir
V / Ren lugar de(V_A − V_B) / Rentre dos nodos desconocidos. - Cambiar arbitrariamente el signo de una resistencia compartida por dos mallas.
- Olvidar que una fuente de corriente establece una restricción de corriente, mientras que una fuente de tensión establece una restricción de tensión.
- Corregir manualmente un resultado negativo: retenerlo e interpretar la dirección física al final.
Herramienta asociada
Abra el divisor de resistencias y las redes para combinar resistencias en serie y en paralelo, verificar la resistencia equivalente, el voltaje compartido y la potencia disipada antes o después de un análisis nodal o de malla.
Fuentes
- G. Kirchhoff, Über den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene, insbesondere durch eine kreisförmige, 1845.
- IEC 80000-6 — Cantidades y unidades: electromagnetismo.
- C. K. Alexander y M. N. O. Sadiku, Fundamentos de circuitos eléctricos.